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Por: Arturo Fornés A01227071 y Miguel Montoya A01226045
Nota: Tanto en el diagrama de flujo, como en el código y los ejemplos, utilizaremos el método de Simpson 1/3 múltiple.
Antecedentes
Hay varios métodos para calcular integrales definidas donde se hace una aproximación por cada intervalo, como Riemann desde la izquierda y derecha, o por método de trapecios. Existen dos métodos más complejos que obtienen una mejor aproximación, estos son los métodos de Simpson (Trataremos especialmente el de 1/3 múltiple) y el e Romberg.
Simpson 1/3 está basado en la “interpolación cuadrática”, pues crea una función que pasa por todos los puntos dados e integra. La función es para dos intervalos continuos (Uniendo 3 puntos). La aplicación múltiple, es crear pares de intervalos para aplicar Simpson 1/3 a muchos puntos.
Romberg está basado en la integración por trapecios, y utiliza un método parecido a las diferencia divididas de Newton. Obtiene aproximaciones de integración con diferente número de trapecios para cada aproximación, y las mejora, hasta obtener un mejor resultado para la integral.
Justificación y propósito
Simpson 1/3 utiliza la siguiente función, para calcular la función perteneciente a los intervalos, antes de integrar.
Debido a que siempre es la misma formula para obtener el polinomio, es fácil calcular la integral.
Donde f(x) es el polinomio de Lagrange de grado dos. Podemos calcular una ecuación para cada intervalo, sin necesidad de calcular la integral de cada uno.
Por otro lado, Romberg mejora el método de trapecios utilizando la siguiente formula
Donde se obtiene una integral mejorada, utilizando otras dos aproximaciones de trapecios, de menor nivel (Uno más exacto que el otro). Se denomina como aproximación más exacta a la que utilizo un mayor número de trapecios. Este método es recursivo, si obtienes x aproximaciones de un nivel mayor, todavía puedes obtener x-1 aproximaciones de nivel mayor.
Diagrama de flujo
Simpson 1/3 Múltiple.
Romberg.
Código en C++
Simpson 1/3 Múltiple: Github.
Romberg: Github.
Ejemplo comparativo
Para Simpson 1/3 múltiple, no se utiliza el método de trapecio para intervalos extra (En caso de que el número de intervalos sea impar, el último intervalo se integra con trapecios).
f (x) = x²
Se integra f(x) de 1 a 5:
Usando Simpson de 1/3 múltiple se obtiene una aproximación con una precisión de 0.00001:
Usando Romberg de 3 aproximaciones iniciales, usando aproximaciones iniciales de 100, 150 y 200 trapecios:
Romberg no fue preciso en este caso ya que este método fluctúa dependiendo de los valores de las aproximaciones por trapecios que se obtengan y qué tan diferentes sean estas entre sí.
f(x) = e^(x)
Se integra f(x) de 1 a 3:
Usando Simpson de 1/3 múltiple se obtuvo una aproximación con una precisión de 0.1:
Usando Romberg de 3 aproximaciones iniciales, usando aproximaciones iniciales de 100, 150 y 200 trapecios se obtuvo una aproximación a la integral definida con una precisión de 0.1:
En este caso ambos métodos dieron valores certeros, con el mismo grado de precisión.